志第十八上 歷四上
《開(kāi)元大衍歷》演紀(jì)上元閼逢困敦之歲，距開(kāi)元十二年甲子，積九千六百九十六萬(wàn)一千七百四十算。
○一曰步中朔術(shù)
通法三千四十。
策實(shí)百一十一萬(wàn)三百四十三。
揲法八萬(wàn)九千七百七十三。
減法九萬(wàn)一千二百。
策余萬(wàn)五千九百四十三。
用差萬(wàn)七千一百二十四。
掛限八萬(wàn)七千一十八。
三元之策十五，余六百六十四，秒七。
四象之策二十九，余千六百一十三。
中盈分千三百二十八，秒十四。
朔虛分千四百二十七。
爻數(shù)六十。
象統(tǒng)二十四。
以策實(shí)乘積算，曰中積分。盈通法得一，為積日。爻數(shù)去之，余起甲子算外，得天正中氣。凡分為小余，日為大余。加三元之策，得次氣。凡率相因加者，下有余秒，皆以類相從。而滿法迭進(jìn)，用加上位。日盈爻數(shù)去之。
以揲法去中積分，不盡曰歸余之掛。以減中積分，為朔積分。如通法為日，去命如前，得天正經(jīng)朔。加一象之日七、余千一百六十三少，得上弦。倍之，得望。參之，得下弦。四之，是謂一揲，得后月朔。凡四分，一為少，三為太。綜中盈、朔虛分，累益歸余之掛，每其月閏衰。凡歸余之掛五萬(wàn)六千七百六十以上，其歲有閏。因考其閏衰，滿掛限以上，其月合置閏�；蛞赃M(jìn)退，皆以定朔無(wú)中氣裁焉。
凡常氣小余不滿通法、如中盈分之半已下者，以象統(tǒng)乘之，內(nèi)秒分，參而伍之，以減策實(shí)；不盡，如策余為日。命常氣初日算外，得沒(méi)日。凡經(jīng)朔小余不滿朔虛分者，以小余減通法，余倍參伍乘之，用減滅法；不盡，如朔虛分為日。命經(jīng)朔初日算外，得滅日。
○二曰發(fā)斂術(shù)
天中之策五，余二百二十一，秒三十一；秒法七十二。
地中之策六，余二百六十五，秒八十六；秒法百二十。
貞悔之策三，余百三十二，秒百三。
辰法七百六十。
刻法三百四。
各因中節(jié)命之，得初候。加天中之策，得次候。又加，得末候。因中氣命之，得公卦用事。以地中之策累加之，得次卦，若以貞悔之策加侯卦，得十有二節(jié)之初外卦用事。因四立命之，得春木、夏火、秋金、冬水用事。以貞悔之策減季月中氣，得土王用事。凡相加減而秒母不齊，當(dāng)令母互乘子，乃加減之；母相乘為法。
各以能法約其月閏衰，為日，得中氣去經(jīng)朔日算。求卦、候者，各以天、地之策，累加減之。凡發(fā)斂加時(shí)，各置其小余，以六爻乘之，如辰法而一，為半辰之?dāng)?shù)。不盡者，三約為分。分滿刻法為刻。若令滿象積為刻者，即置不盡之?dāng)?shù)，十之，十九而一，為分。命辰起子半算外。
○三曰步日躔術(shù)
干實(shí)百一十一萬(wàn)三百七十九太。
周天度三百六十五，虛分七百七十九太。
歲差三十六太。
以盈縮分盈減、縮加三元之策，為定氣所有日及余。乃十二乘日，又三其小余，辰法約而一，從之，為定氣辰數(shù)。不盡，十之，又約為分。以所入氣并后氣盈縮分，倍六爻乘之，綜兩氣辰數(shù)除之，為末率。又列二氣盈縮分，皆倍六爻乘之，各如辰數(shù)而一；以少減多，余為氣差。至后以差加末率，分后以差減末率，為初率。倍氣差，亦倍六爻乘之，復(fù)綜兩氣辰數(shù)除，為日差。半之，以加減初末，各為定率。以日差至后以減、分后以加氣初定率，為每日盈縮分。乃馴積之，隨所入氣日加、減氣下先、后數(shù)，各其日定數(shù)。其求朓朒仿此。冬至后為陽(yáng)復(fù)，在盈加之，在縮減之；夏至后為陰復(fù)，在縮加之，在盈減之。距四正前一氣，在陰陽(yáng)變革之際，不可相并，皆因前末為初率。以氣差至前加之，分前減之，為末率。余依前術(shù)，各得所求。其分不滿全數(shù)，母又每氣不同，當(dāng)退法除之。以百為母，半已上，收成一。冬至、夏至偕得天地之中，無(wú)有盈、縮。余各以氣下先后數(shù)先減、后加常氣小余，滿若不足，進(jìn)退其日，得定大小余。凡推日月度及軌漏、交蝕，依定氣；注歷，依常氣。以減經(jīng)朔、弦、望，各其所入日算。若大余不足減，加爻數(shù)，乃減之。減所入定氣日算一，各以日差乘而半之；前少以加、前多以減氣初定率，以乘其所入定氣日算及余秒。凡除者，先以母通全，內(nèi)子，乃相乘；母相乘除之。所得以損益朓朒積，各其入朓朒定數(shù)。若非朔、望有交者，以十二乘所入日算；三其小余，辰法除而從之；以乘損益率，如定氣辰數(shù)而一。所得以損益朓朒積，各為定數(shù)。
南斗二十六，牛八，婺女十二，虛十，虛分七百七十九太。危十七，營(yíng)室十六，東壁九，奎十六，婁十二，胃十四，昴十一，畢十七，觜觿一，參十，東井三十三，輿鬼三，柳十五，七星七，張十八，翼十八，軫十七，角十二，亢九，氐十五，房五，心五，尾十八，箕十一，為赤道度。其畢、觜觿、參、輿鬼四宿度數(shù)，與古不同，依天以儀測(cè)定，用為常數(shù)。纮帶天中，儀極攸憑，以格黃道。
推冬至歲差所在，每距冬至前后各五度為限，初數(shù)十二，每限減一，盡九限，數(shù)終于四。當(dāng)二立之際，一度少?gòu)?qiáng)，依平。乃距春分前、秋分后，初限起四，每限增一，盡九限，終于十二，而黃道交復(fù)。計(jì)春分后、秋分前，亦五度為限。初數(shù)十二，盡九限，數(shù)終于四。當(dāng)二立之際，一度少?gòu)?qiáng)，依平。乃距夏至前后，初限起四，盡九限，終于十二。皆累裁之，以數(shù)乘限度，百二十而一，得度；不滿者，十二除，為分。若以十除，則大分，十二為母，命太、半、少及強(qiáng)、弱。命曰黃、赤道差數(shù)。二至前、后各九限，以差減赤道度，二分前、后各九限，以差加赤道度，各為黃道度。
開(kāi)元十二年，南斗二十三半，牛七半，婺女十一少，虛十，六虛之差十九太。危十七太，營(yíng)室十七少，東壁九太，奎十七半，婁十二太，胃十四太，昴十一，畢十六少，觜觿一，參九少，東井三十，輿鬼二太，柳十四少，七星六太，張十八太，翼十九少，軫十八太，角十三，亢九半，氐十五太，房五，心四太，尾十七，箕十少，為黃道度，以步日行。日與五星出入，循此。求此宿度，皆有余分，前后輩之成少、半、太，準(zhǔn)為全度。若上考往古，下驗(yàn)將來(lái)，當(dāng)據(jù)歲差，每移一度，各依術(shù)算，使得當(dāng)時(shí)度分，然后可以步三辰矣。
以乾實(shí)去中積分，不盡者，盈通法為度。命起赤道虛九，宿次去之，經(jīng)虛去分，至不滿宿算外，得冬至加時(shí)日度。以三元之策累加之，得次氣加時(shí)日度。
以度余減通法，余以冬至日躔距度所入限數(shù)乘之，為距前分。置距度下黃、赤道差，以通法乘之，減去距前分，余滿百二十除，為定差。不滿者，以象統(tǒng)乘之，復(fù)除，為秒分。乃以定差減赤道宿度，得冬至加時(shí)黃道日度。
又置歲差，以限數(shù)乘之，滿百二十除，為秒分。不盡為小分。以加三元之策，因累裁之。命以黃道宿次，各得定氣加時(shí)日度。
置其氣定小余，副之。以乘其日盈、縮分，滿通法而一，盈加、縮減其副。用減其日加時(shí)度余，得其夜半日度。因累加一策，以其日盈、縮分盈加、縮減度余，得每日夜半日度。
○四曰步月離術(shù)
轉(zhuǎn)終六百七十萬(wàn)一千二百七十九。
轉(zhuǎn)終日二十七，余千六百八十五，秒七十九。
轉(zhuǎn)法七十六。
轉(zhuǎn)秒法八十。
以秒法乘朔積分，盈轉(zhuǎn)終去之；余復(fù)以秒法約，為入轉(zhuǎn)分；滿通法，為日。命日算外，得天正經(jīng)朔加時(shí)所入。因加轉(zhuǎn)差日一、余二千九百六十七、秒一，得次朔。以一象之策，循變相加，得弦、望。盈轉(zhuǎn)終日及余秒者，去之。各以經(jīng)朔、弦、望小余減之，得其日夜半所入。
各置朔、弦、望所入轉(zhuǎn)日損益率，并后率而半之，為通率。又二率相減，為率差。前多者，以入余減通法，余乘率差，盈通法得一，并率差而半之；前少者，半入余，乘率差，亦以通法除之：為加時(shí)轉(zhuǎn)率。乃半之，以損益加時(shí)所入，余為轉(zhuǎn)余。其轉(zhuǎn)余，應(yīng)益者，減法；應(yīng)損者，因余。皆以乘率差，盈通法得一，加于通率，轉(zhuǎn)率乘之，通法約之，以朓減、朒加轉(zhuǎn)率，為定率。乃以定率損益朓肉積，為定數(shù)。其后無(wú)同率者，亦因前率。應(yīng)益者，以通率為初數(shù)，半率差而減之；應(yīng)損者，即為通率。其損益入余進(jìn)退日，分為二日，隨余初末，如法求之，所得并以損益轉(zhuǎn)率。此術(shù)本出《皇極歷》，以究算術(shù)之微變。若非朔、望有交者，直以入余乘損益率，如通法而一，以損益朓朒，為定數(shù)。
七日、初數(shù)二千七百一，末數(shù)三百三十九。十四日、初數(shù)二千三百六十三，末數(shù)六百七十七。二十一日、初數(shù)二千二十四，末數(shù)千一十六。二十八日，初數(shù)千六百八十六，末數(shù)千三百五十四。以四象約轉(zhuǎn)終，均得六日二千七百一分。就全數(shù)約為九分日之八。各以減法，余為末數(shù)。乃四象馴變相加，各其所當(dāng)之日初、末數(shù)也。視入轉(zhuǎn)余，如初數(shù)已下者，加減損益，因循前率；如初數(shù)以上，則反其衰，歸于后率云。
各置朔、弦、望大小余，以入氣、入轉(zhuǎn)朓朒定數(shù)，朓減、朒加之，為定朔、弦、望大小余。定朔日名與后朔同者，月大；不同者，�。粺o(wú)中氣者，為閏月。凡言夜半，皆起晨前子正之中。若注歷，觀弦、望定小余，不盈晨初余數(shù)者，退一日。其望有交、起虧在晨初已前者，亦如之。又月行九道遲疾，則有三大二小以日行盈、縮累增、損之，則容有四大三小，理數(shù)然也。若俯循常儀，當(dāng)察加時(shí)早晚，隨其所近而進(jìn)退之，使不過(guò)三大二小。其正月朔有交、加時(shí)正見(jiàn)者，消息前后一兩月，以定大小，令虧在晦、二。定朔、弦、望夜半日度，各隨所直日度及余分命之。乃列定朔、弦、望小余，副之。以乘其日盈、縮分，如通法而一，盈加、縮減其副。以加夜半日度，各得加時(shí)日度。
凡合朔所交，冬在陰歷、夏在陽(yáng)歷，月行青道；冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，當(dāng)黃道東。立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，當(dāng)黃道東南。至所沖之宿，亦如之。冬在陽(yáng)歷、夏在陰歷，月行白道；冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，當(dāng)黃道西。立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，當(dāng)黃道西北。至所沖之宿，亦如之。春在陽(yáng)歷、秋在陰歷，月行硃道；春分、秋分后，硃道半交在夏至之宿，當(dāng)黃道南。立春、立秋后，硃道半交在立夏之宿，當(dāng)黃道西南。至所沖之宿，亦如之。春在陰歷，秋在陽(yáng)歷，月行黑道。春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，當(dāng)黃道北，立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，當(dāng)黃道東北。至所沖之宿，亦如之。四序離為八節(jié)，至陰陽(yáng)之所交，皆與黃道相會(huì)，故月有九行。各視月交所入七十二候距交初中黃道日度，每五度為限，亦初數(shù)十二，每限減一，數(shù)終于四、乃一度強(qiáng)，依平。更從四起，每限增一，終于十二，而至半交，其去黃道六度。又自十二，每限減一，數(shù)終于四，亦一度強(qiáng)，依平。更從四起，每限增一，終于十二，復(fù)與日軌相會(huì)。各累計(jì)其數(shù)，以乘限度，二百四十而一，得度。不滿者，二十四除，為分，若以二十除之，則大分，以十二為母。為月行與黃道差數(shù)。距半交前后各九限，以差數(shù)為減；距正交前后各九限，以差數(shù)為加。此加減出入六度，單與黃道相較之?dāng)?shù)。若較之赤道，則隨氣遷變不常。計(jì)去冬至、夏至以來(lái)候數(shù)，乘黃道所差，十八而一，為月行與赤道差數(shù)。凡日以赤道內(nèi)為陰，外為陽(yáng)；月以黃道內(nèi)為陰，外為陽(yáng)。故月行宿度，入春分交后行陰歷、秋分交后行陽(yáng)歷，皆為同名。若入春分交后行陽(yáng)歷、秋分交后行陰歷，皆為異名。其在同名，以差數(shù)為加者加之，減者減之；若在異名，以差數(shù)為加者減之，減者加之。皆以增損黃道度，為九道定度。
各以中氣去經(jīng)朔日算，加其入交泛，乃以減交終，得平交入中氣日算。滿三元之策去之，余得入后節(jié)日算。因求次交者，以交終加之，滿三元之策去之，得后平交入氣日算。
各以氣初先后數(shù)先加、后減之，得平交入定氣日算。倍六爻乘之，三其小余，辰法除而從之，以乘其氣損益率，如定氣辰數(shù)而一，所得以損益其氣朓朒積，為定數(shù)。
又置平交所入定氣余，加其日夜半入轉(zhuǎn)余，以乘其日損益率，滿通法而一，以損益其日朓朒積，交率乘之，交數(shù)而一，為定數(shù)。乃以入氣入轉(zhuǎn)朓朒定數(shù)，朓減、朒加平交入氣余，滿若不足，進(jìn)退日算，為正交入定氣日算。其入定氣余，副之，乘其日盈縮分，滿通法而一，以盈加、縮減其副，以加其日夜半日度，得正交加時(shí)黃道日度。以正交加時(shí)度余減通法，余以正交之宿距度所入限數(shù)乘之，為距前分。置距度下月道與黃道差，以通法乘之，減去距前分，余滿二百四十除，為定差；不滿者一退為秒。以定差及秒加黃道度、余，仍計(jì)去冬至、夏至已來(lái)候數(shù)乘定差，十八而一，所得依名同異而加減之，滿若不足，進(jìn)退其度，得正交加時(shí)月離九道宿度。
各置定朔、弦、望加時(shí)日度，從九道循次相加。凡合朔加時(shí)，月行潛在日下，與太陽(yáng)同度，是謂離象。先置朔、弦、望加時(shí)黃道日度，以正交加時(shí)所在黃道宿度減之，余以加其正交九道宿度，命起正交宿度算外，即朔、弦、望加時(shí)所當(dāng)九道宿度也。其合朔加時(shí)，若非正交，則日在黃道，月在九道，各入宿度雖多少不同，考其去極，若應(yīng)繩準(zhǔn)。故云：月行潛在日下，與太陽(yáng)同度。以一象之度九十一、余九百五十四、秒二十二半為上弦，兌象。倍之，而與日沖，得望，坎象。參之，得下弦，震象。各以加其所當(dāng)九道宿度，秒盈象統(tǒng)從余，余滿通法從度，得其日加時(shí)月度。綜五位成數(shù)四十，以約度余，為分；不盡者，因?yàn)樾》帧?/p>
視經(jīng)朔夜半入轉(zhuǎn)，若定朔大余有進(jìn)退者，亦加、減轉(zhuǎn)日。否則因經(jīng)朔為定。累加一日，得次日，各以夜半入轉(zhuǎn)余乘列衰，如通法而一，所得以進(jìn)加、退減其日轉(zhuǎn)分，為月轉(zhuǎn)定分。滿轉(zhuǎn)法，為度。
視定朔、弦、望夜半入轉(zhuǎn)，各半列衰以減轉(zhuǎn)分。退者，定余乘衰，以通法除，并衰而半之；進(jìn)者，半余乘衰，亦以通法除：皆加所減。乃以定余乘之，盈通法得一，以減加時(shí)月度，為夜半月度。各以每日轉(zhuǎn)定分累加之，得次日。若以入轉(zhuǎn)定分，乘其日夜漏，倍百刻除，為晨分。以減轉(zhuǎn)定分，余為昏分。望前以昏、望后以晨加夜半度，各得晨、昏月。
各視每日夜半入陰陽(yáng)歷交日數(shù)，以其下屈伸積，月道與黃道同名者，加之；異名者，減之。各以加、減每日辰昏黃道月度，為入宿定度及分。
○五曰步軌漏術(shù)
爻統(tǒng)千五百二十。
象積四百八十。
辰八刻百六十分。
昏、明二刻二百四十分。
各置其氣消息衰，依定氣所有日，每以陟降率陟減、降加其分，滿百?gòu)乃�，各得每日消息定衰。其距二分前后各一氣之外，陟、降不等，皆以三日為限。雨水初日，降七十八；初限，日損十二；次限，日損八；次限，日損三；次限，日損二；次限，日損后。清明初日，陟一；初限，日益一；次限，日益二；次限，日益三；次限，日益八；末限，日益十九。處暑初日，降九十九；初限，日損十九；次限，日損八；次限，日損三；次限，日損二；末限，日損一。寒露初日，陟一；初限，日益一；次限，日益二；次限，日益三；次限，日益八；末限，日益十二。各置初日陟降率，依限次損益之，為每日率。乃遞以陟減、降加氣初消息衰，各得每日定衰。
南方戴日之下，正中無(wú)晷。自戴日之北一度，乃初數(shù)千三百七十九。自此起差，每度增一，終于二十五度，計(jì)增二十六分。又每度增二，終于四十度。又每度增六，終于四十四度，增六十八。又每度增二，終于五十度。又每度增七，終于五十五度。又每度增十九，終于六十度，增百六十。又每度增三十三，終于六十五度。又每度增三十六，終于七十度。又每度增三十九，終于七十二度，增二百六十。又度增四百四十。又度增千六十。又度增千八百六十。又度增二千八百四十。又度增四千。又度增五千三百四十。各為每度差。因累其差，以遞加初數(shù)，滿百為分，分十為寸，各為每度晷差。又累其晷差，得戴日之北每度晷數(shù)。
各置其氣去極度，以極去戴日度五十六及分八十二半減之，得戴日之北度數(shù)。各以其消息定衰所直度之晷差，滿百為分，分十為寸，得每日晷差。乃遞以息減、消加其氣初晷數(shù)，得每日中晷常數(shù)。
以其日處在氣定小余，爻統(tǒng)減之，余為中后分。不足減，反相減，為中前分。以其晷差乘之，如通法而一，為變差。以加、減中晷常數(shù)，冬至后，中前以差減，中后以差加；夏至后，中前以差加，中后以差減。冬至一日，有減無(wú)加；夏至一日，有加無(wú)減。得每日中晷定數(shù)。
又置消息定衰，滿象積為刻，不滿為分。各遞以息減、消加其氣初夜半漏，得每日夜半漏定數(shù)。其全刻，以九千一百二十乘之，十九乘刻分從之，如三百而一，為晨初余數(shù)。
各倍夜半漏，為夜刻。以減百刻，余為晝刻。減晝五刻以加夜，即晝?yōu)橐?jiàn)刻，夜為沒(méi)刻。半沒(méi)刻加半辰，起子初算外，得日出辰刻。以見(jiàn)刻加而命之，得日入。置夜刻，五而一，得每更差刻。又五除之，得每籌差刻。以昏刻加日入辰刻，得甲夜初刻。又以更籌差加之，得五夜更籌所當(dāng)辰。其夜半定漏，亦名晨初夜刻。
又置消息定衰，滿百為度，不滿為分。各遞以息減、消加氣初去極度，各得每日去極定數(shù)。
又置消息定衰，以萬(wàn)二千三百八十六乘之，如萬(wàn)六千二百七十七而一，為度差。差滿百為度。各遞以息加、消減其氣初距中度，得每日距中度定數(shù)。倍之，以減周天，為距子度。
置其日赤道日度，加距中度，得昏中星。倍距子度，以加昏中星，得曉中星。命昏中星為甲夜中星，加每更差度，得五夜中星。
凡九服所在，每氣初日中晷常數(shù)不齊。使每氣去極度數(shù)相減，各為其氣消息定數(shù)。因測(cè)其地二至日晷，測(cè)一至可矣，不必兼要冬夏。于其戴日之北每度晷數(shù)中，較取長(zhǎng)短同者，以為其地戴日北度數(shù)及分。每氣各以消息定數(shù)加減之，因冬至后者，每氣以減。因夏至后者，每氣以加。得每氣戴日北度數(shù)。各因所直度分之晷數(shù)，為其地每定氣初日中晷常數(shù)。其測(cè)晷有在表南者，亦據(jù)其晷尺寸長(zhǎng)短與戴日北每度晷數(shù)同者，因取其所直之度，去戴日北度數(shù)。反之，為去戴日南度。然后以消息定數(shù)加減之。
二至各于其地下水漏以定當(dāng)處晝夜刻數(shù)。乃相減，為冬、夏至差刻。半之，以加、減二至?xí)円箍虜?shù)，為定春、秋分初日晝夜刻數(shù)。乃置每氣消息定數(shù)。以當(dāng)處差刻數(shù)乘之，如二至去極差度四十七分，八十而一，所得依分前、后加、減初日晝夜漏刻，各得余定氣初日晝夜漏刻。
置每日消息定衰，亦以差刻乘之，差度而一，所得以息減、消加其氣初漏刻，得次日。其求距中度及昏明中星日出入，皆依陽(yáng)城法求之。仍以差刻乘之，差度而一，為今有之?dāng)?shù)。若置其地春、秋定日中晷常數(shù)與陽(yáng)城每日晷數(shù)，較其同者，因其日夜半漏亦為其地定春、秋分初日夜半漏。求余定氣初日，亦以消息定數(shù)依分前、后加、減刻分，春分后以減，秋分后以加。滿象積為刻。求次日，亦以消息定衰，依陽(yáng)城術(shù)求之。此術(shù)究理，大體合通。然高山平川，視日不等。較其日晷，長(zhǎng)短乃同�？计渌嗌偈鈩e。以茲參課，前術(shù)為審。
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