志二十七 時憲八
凌犯視差新法上 道光中，欽天監(jiān)秋官正司廷棟所撰，較舊法加密，附著卷末，以備參考。
求用時
推諸曜之行度，皆以太陽為本；而太陽之實行，又以平行為根。其推步之法，總以每日子正為始，此言子正者，乃為平子正，即太陽平行之點臨于子正初刻之位也。今之推步時刻，雖以兩子正之實行為比例，而所得者亦皆平行所臨之點，則實行所臨之點，自有進退之殊。設(shè)太陽在最卑后實行大于平行，則太陽所臨之點必在平行之東，以時刻而言，乃為未及。若太陽過最高后實行小于平行，則太陽所臨之點必在平行之西，以時刻而言，乃為已過。故以應(yīng)加之均數(shù)變時為應(yīng)減之時差，應(yīng)減之均數(shù)變時為應(yīng)加之時差，此因太陽有平行實行之別，以生均數(shù)時差也。然太陽所行者黃道，時刻所據(jù)者赤道，因黃道與赤道斜交，則同升必有差度。如二分后赤道小于黃道，其差應(yīng)減，在時刻為未及。二至后赤道大于黃道，其差應(yīng)加，在時刻為已過。故以正弧三角形法求得黃赤升度差，變?yōu)闀r分，二分后為加，二至后為減，此因經(jīng)度有黃道赤道之分，以生升度時差也。按本時之日行自行所生之二差，各加減于平時而得用時，由用時方可以推算他數(shù)，故交食亦必以推用時為首務(wù)，即日月食之第一求也。其法理圖說已載于考成前編，講解最詳，其圖分而為二，且均數(shù)時差圖系用小輪。至考成后編求均數(shù)改為橢圓法，其法理亦備悉于求均數(shù)篇內(nèi)，然未言及時差。今依太陽實行所臨黃道之點，以均數(shù)之分取得黃道上平行點，即以平實二點依過二極、二至經(jīng)圈作距等圈法，引于赤道，可使二差合為一圖。其太陽之經(jīng)度所臨之時刻及二時差之加減，皆可按圖而稽矣。
如道光十二年壬辰三月初六日癸丑戌正二刻十一分，月與司怪第四星同黃道經(jīng)度，是為凌犯時刻。本日太陽引數(shù)三宮三度五十五分，太陽黃道經(jīng)度三宮十五度五十三分，求用時。如圖甲為北極，乙丙丁戊為赤道，乙甲丁為子午圈，乙為子正，丁為午正，己庚辛壬為黃道，丙甲戊為過二極二至經(jīng)圈，己為冬至，辛為夏至，庚為春分，壬為秋分。子為太陽實行之點，當(dāng)赤道于丑，則丑點即太陽實臨之用時。卯為太陽平行之點，而當(dāng)赤道于辰。其卯子之分，即應(yīng)加之均數(shù)一度五十五分四十五秒，試自卯子二點與丙甲戊過極至經(jīng)圈平行作卯午、子未二線，即如距等圈，將太陽平行、實行之度皆引于赤道，則庚午必與庚卯等，庚未必與庚子等，其赤道之午未亦必與卯子均數(shù)等。變時得七分四十三秒，為赤道午未之分，即均數(shù)時差也。次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧，此形有丑直角，有庚角黃赤交角二十三度二十九分，有庚子弧太陽距春分后黃道度十五度五十三分。乃以半徑為一率，庚角之馀弦為二率，庚子弧之正切為三率，求得四率為庚丑弧之正切，檢表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒，為太陽距春分后赤道度。乃與庚子黃道弧相等之庚未弧相減，得丑未弧一度十五分二十四秒，為應(yīng)減之黃赤升度差。變時得五分二秒，即升度時差也。蓋太陽平行卯點，距春分之庚卯弧與庚午弧等，則午點乃為平時，即今之凌犯時刻。而太陽實行子點，距春分之庚子與庚未弧等，則午未為平行與實行之差。如以太陽右旋而言之，為實行已過平行，然以隨天左旋而計之，為實行未及平行，是未點轉(zhuǎn)早于午點，故必減午未均數(shù)時差，乃得未點時刻，此太陽在黃道虛映于赤道之時刻也。然子點太陽實當(dāng)赤道之丑，則丑未為黃道與赤道之差。若以經(jīng)度東行而言之，為赤道未及黃道，茲以時刻西行而計之，為赤道已過黃道，是丑點復(fù)遲于未點，故必加丑未升度時差，方得丑點時刻，即太陽在黃道實當(dāng)于赤道之時刻也。其兩時差既為一加一減，而所減者又大于應(yīng)加之分，故先以兩時差相減，得丑午時分二分四十一秒，而為時差
此因兩時差加減異號故相減，若同號則相加，所謂兩數(shù)通為一數(shù)也。又因減數(shù)大于加數(shù)，故仍從減，若加數(shù)大者則從加矣。 乃減于午點凌犯時刻戌正二刻十一分，即得丑點戌正二刻八分十九秒，為凌犯用時也。
一率半徑
二率庚角馀弦
三率庚子弧正切
四率庚丑弧正切
圖形尚無資料
又設(shè)凌犯時刻丑正一刻，太陽引數(shù)三宮十三度二十九分，黃道實行三宮二十五度三十四分，求用時。如子為太陽實行之點，當(dāng)赤道于丑，其丑點即所臨之用時。卯為太陽平行之點，當(dāng)赤道于辰，其子卯為應(yīng)加之均數(shù)一度五十二分二十五秒，亦自卯子二點與過極至經(jīng)圈平行作卯丑、子未二距等圈，其平行卯點映于赤道，恰與實行當(dāng)赤道之丑點合，是由平行所得之時刻，已合實行實臨赤道之用時，遇此可無庸求其時差也。然何以知之，蓋兩時差之?dāng)?shù)相等，必減盡無馀，即無時差之總數(shù)矣。今試按法求之，既作卯丑、子未二線，其庚丑與庚卯等，庚未與庚子等，則丑未必與卯子均數(shù)等，變時得七分三十秒，即赤道上應(yīng)減之均數(shù)時差。次用庚丑子正弧三角形，求得庚丑弧赤道度，與庚子弧黃道度相等之庚未弧相減，得丑未弧，黃赤升度差恰與均數(shù)等。變時亦得七分三十秒，即赤道上應(yīng)加之升度時差。其時差一為加、一為減，而兩數(shù)相等，乃減盡無馀，既無時差之總數(shù)，則其凌犯時刻即為用時可知矣。此法以丑點凌犯時刻減去均數(shù)時差，得未點實行虛映之時刻，而復(fù)加相等之升度時差，所得用時，固仍在丑點之位，蓋因太陽平行距春分后黃道度等于太陽實行距春分后赤道度故也。又如太陽正當(dāng)本天之最卑或最高，乃無平行實行之差，自無均數(shù)時差，止加減升度時差一數(shù)。設(shè)太陽當(dāng)本天最卑，又當(dāng)子正，如太陽在黃道之子點，則庚乙與庚子等，以庚丑子正弧形求得丑乙黃赤升度差。變時減于乙點時刻，即得丑點用時，乃在乙點子正之前也。若太陽當(dāng)本天最高，又當(dāng)午正，如太陽在黃道之午點，則壬丁與壬午等，以壬寅午正弧形求得寅丁黃赤升度差，變時減于丁點時刻，即得寅點用時，乃在丁點午正之前也。
圖形尚無資料
又如太陽實行正當(dāng)冬、夏至或正當(dāng)春、秋分，此四點皆無黃道赤道之差，自無升度時差，止加減均數(shù)時差一數(shù)。設(shè)太陽實行六宮初度為正當(dāng)夏至，在黃道之辛點，當(dāng)赤道于戊，而平行卯點，當(dāng)赤道于辰，自卯點與丙甲戊過極至經(jīng)圈平行作卯午距等圈，則午點為凌犯時刻，其戊午與辛卯均數(shù)等，變時得均數(shù)時差。減于午點而得戊點，即用時也。
圖形尚無資料
求春分距午時分、黃平象限宮度及限距地高
推算太陰凌犯視差，固依后編求日食三差之法，而其為用不同。蓋日食之東西差為求視距弧，而南北差為求視緯，其視距弧、視緯則為求視相距及視行之用。緣太陰行于白道，是必以白平象限為準(zhǔn)焉。若五星之距恆星、五星之互相距，皆以黃道同經(jīng)度之時為相距時刻，而較黃緯南北相距之?dāng)?shù)為其上下之分也。至月距五星、月距恆星，亦皆以黃道經(jīng)度相同之時為凌犯時刻，不更問白道經(jīng)度，其于白平象限又何與焉？然其以東西差定視時之進退，以南北差判視緯之大小，以定視距之遠近者，其差皆黃道經(jīng)緯之差，故必以黃平象限之宮度為準(zhǔn)。黃平象限者，地平上黃道半周適中之點也。顧黃道與赤道斜交，地平上赤道半周適中之點，恆當(dāng)子午圈，而地平上黃道半周適中之點，則時有更易。蓋黃極由負黃極圈每日隨天左旋，繞赤極一周，如黃極在赤極之南，則冬至當(dāng)午正，其黃道斜升斜降；若黃極在赤極之北，則夏至當(dāng)午正，其黃道正升正降，而黃平象限亦皆恰當(dāng)子午圈；設(shè)黃極在赤極之西，則春分當(dāng)午正，其黃道之勢斜倚，出自東北而入西南，黃平象限乃在午正之東；設(shè)黃極在赤極之東，則秋分當(dāng)午正，其黃道出自東南而入西北，黃平象限乃在午正之西。是則黃道之向，隨時不同，故以黃道之逐度，推求黃平象限及限距地高以立表。
先設(shè)太陽正當(dāng)春分點，黃道實行為三宮初度，求午正初刻黃平象限宮度及限距地高度分。如圖甲乙丙丁為子午圈，甲為天頂，丙丁為地平，乙為北極，乙丙為京師北極出地，高三十九度五十五分，戊己庚為赤道，交于地平之己點，其戊點當(dāng)午正，為地平上赤道半周適中之點，戊丁為赤道距地高五十度五分，當(dāng)戊己丁角，辛子壬為負黃極圈，子為黃極，乙子己丑為過極至經(jīng)圈，戊丑庚為黃道，而交地平于寅點，庚為秋分，丑為冬至，戊為春分，即太陽之所在，臨于午正，乃無春分距午之時分。試自黃極子點出弧線過天頂作子甲卯黃道經(jīng)圈，為本時黃平象限，其辰點為地平上黃道半周適中之點，而在正午之東，即黃平象限宮度也。辰寅卯角為黃道與地平相交之角，而當(dāng)辰卯弧，即本時限距地高之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有戊甲弧赤道距天頂，
與乙丙北極高度等。 以赤道交子午圈之戊直角九十度內(nèi)減己戊丑角黃赤交角二十三度二十九分，得寅戊丁角六十六度三十一，為黃道交子午圈角；
亦名黃道赤經(jīng)交角。 與辰戊甲角為對角，其度等。乃以半徑為一率，戊角黃道赤經(jīng)交角之馀弦為二率，戊甲弧赤道距天頂，亦即太陽距天頂其正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得十八度二十六分十四秒，為戊辰弧黃平象限距午正之黃道度。與戊點春分三宮相加，
因黃平象限在午東，故加。 得辰點三宮十八度二十六分十四秒，即本時黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，戊角黃道赤經(jīng)交角之正弦為二率，戊甲弧太陽距天頂之正弦為三率，求得四率，為黃平象限距天頂之正弦，檢表得三十六度三分九秒，為甲辰弧黃平象限距天頂。與甲卯象限九十度相減，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，即本時限距地高，而當(dāng)辰寅卯角之度也。
一率半徑
二率戊角馀弦
三率戊甲弧正切
四率戊辰弧正切
一率半徑
二率戊角正弦
三率戊甲弧正弦
四率甲辰弧正弦
圖形尚無資料
又設(shè)太陽正當(dāng)秋分點，黃道實行為九宮初度，求午正初刻春分距午時分并黃平象限及限距地高，即以秋分當(dāng)于正午之戊，則庚未戊為黃道，交地平于寅，庚為春分，未為夏至，子乙未己為過極至經(jīng)圈，亦自黃極子點出弧★過天頂，作子甲卯弧黃平象限，而地平上黃道適中之辰點，在正午之西。先以春分距午西之庚戊赤道半周變十二時為春分距午之時分，次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧，此形有辰直角，有戊甲赤道距天頂。以戊直角內(nèi)減己戊未角黃赤交角，得辰戊甲角黃道赤經(jīng)交角，亦六十六度三十一分，求得戊辰弧黃平象限距午正之黃道度，亦十八度二十六分十四秒。與戊點秋分九宮相減，
因黃平象限在午西，故減。 得辰點八宮十一度三十三分四十六秒，即本時黃平象限之經(jīng)度。又求得甲辰弧8888與甲卯象限相減，得辰卯弧，亦為五十三度五十六分五十一秒，即本時限距地高，而當(dāng)辰寅卯角之度也。
又設(shè)太陽距春分后三十度，黃道實行為四宮初度，求午正初刻黃平象限諸數(shù)。乃以黃道經(jīng)度四宮初度當(dāng)午正如辛點，即太陽之所在，辛壬癸為黃道，交地平于寅。丑為冬至，壬為春分，乙子丑為過極至經(jīng)圈。仍自黃極子點過天頂甲點作子甲卯弧黃平象限，其黃道適中之辰點，在午正之東。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角，此形有戊直角，有壬角黃赤交角，有壬辛太陽距春分后黃道弧三十度。乃以半徑為一率，黃赤交角之馀弦為二率，黃道弧之正切為三率，求得四率，為赤道弧之正切，檢表得二十七度五十四分一十秒，為壬戊弧赤道同升度，亦即本時春分距午后赤道度。變時得一時五十一分三十七秒，即本時春分距午時分。又以半徑為一率，黃赤交角之正弦為二率，黃道弧之正弦為三率，求得四率，為黃赤距度之正弦，檢表得十一度二十九分三十三秒，為辛戊弧太陽距赤道北緯度。又以黃道弧之馀弦為一率，黃赤交角之馀切為二率，半徑為三率，求得四率，為黃道交子午圈角之正切，檢表得六十九度二十二分五十一秒，為壬辛戊角黃道交子午圈角，即黃道赤經(jīng)交角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有辛角，與壬辛戊角為對角，其度等。以甲戊弧赤道距天頂內(nèi)減辛戊黃赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，為本時太陽距天頂。乃以半徑為一率，辛角黃道赤經(jīng)交角之馀弦為二率，甲辛弧太陽距天頂之正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得十度四十七分二十八秒，為辛辰弧黃平象限距午正之黃道度。與辛點四宮初度相加，因黃平象限在午東，故加。得辰點四宮十度四十七分二十八秒，即本時黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，辛角黃道赤經(jīng)交角之正弦為二率，甲辛弧太陽距天頂之正弦為三率，求得四率，為黃平象限距天頂之正弦，檢表得二十六度二十七分二十秒，為甲辰弧黃平象限距天頂。與甲卯象限九十度相減，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，為本時限距地高，即當(dāng)辰寅卯角之度也。
一率半徑
二率壬角馀弦
三率壬角弧正切
四率壬戊弧正切
一率半徑
二率壬角正弦
三率壬辛弧正弦
四率辛戊弧正弦
一率壬辛弧馀弦
二率壬角馀切
三率半徑
四率辛角正切
一率半徑
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半徑
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弦
又設(shè)太陽距秋分前三十度，黃道實行為八宮初度，求午正初刻黃平象限諸數(shù)。乃以辛點太陽實行當(dāng)正午，其申點為秋分，而在午東，壬為春分，未為夏至，子乙未為過極至經(jīng)圈，亦自黃極子點過天頂，作子甲卯弧本時黃平象限，而在午西。法用辛戊申正弧三角形，此形戊為直角，申角為黃赤交角，申辛黃道弧亦為三十度，求得申戊赤道同升度，亦為二十七度五十四分一十秒。乃與壬申赤道之半周相減，得壬戊弧五宮二度五分五十秒，為本時春分距午后赤道度。變時得十時八分二十三秒，即本時春分距午時分也。次用辛辰甲正弧三角形，辰為直角，其辛角黃道赤經(jīng)交角及甲辛弧太陽距天頂，皆與前圖之度等。求得辛辰弧黃平象限距午正黃道度，亦為十度四十七分二十八秒。與辛點八宮初度相減，因黃平象限在午西，故減。得辰點七宮十九度十二分三十二秒，即本時黃平象限之經(jīng)度。又求得甲辰弧與甲卯象限相減，得辰卯弧，亦為六十三度三十二分四十秒，即本時限距地高，亦當(dāng)辰寅卯角之度也。
又設(shè)太陽當(dāng)正午實行距春分前三十度為二宮初度，乃以辛點太陽當(dāng)午正，則春分壬點在午正之東，申為秋分，丑為冬至，乙子丑為過極至經(jīng)圈，其子甲卯本時黃平象限亦在午正之東。法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角黃赤交角，有壬辛黃道弧三十度。求得壬戊赤道弧，亦為二十七度五十四分一十秒。乃與赤道全周相減，得十一宮二度五分五十秒，為本時春分距午后赤道度。變時得二十二時八分二十三秒，即本時春分距午時分也。又求得辛戊弧亦為十一度二十九分三十三秒，為太陽距赤道南緯度，并求得壬辛戊角亦為六十九度二十二分五十一秒，為本時黃道赤經(jīng)交角。次用辛辰甲正弧三角形，此形有辰直角，有辛角，以甲戊赤道距天頂與辛戊黃赤距度相加，得甲辛弧太陽距天頂五十一度二十四分三十三秒。乃以半徑為一率，辛角之馀弦為二率，甲辛弧之正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧黃平象限距午正之黃道度。與辛點二宮初度相加，得辰點二宮二十三度四十八分四十秒，即本時黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，辛角之正弦為二率，甲辛弧之正弦為三率，求得四率，為甲辰弧黃平象限距天頂之正弦，檢馀弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本時限距地高之度也。
一率半徑
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半徑
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弧
又設(shè)太陽當(dāng)午正實行距秋分后三十度為十宮初度，乃以辛點太陽當(dāng)午正，則申點秋分在午正后，而春分必在午正前，未為夏至，子乙未為過極至經(jīng)圈，其子甲卯本時黃平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，此形邊角之度與前圖之辛戊壬形同，惟申戊弧所變之一時五十一分三十七秒，乃秋分距午后之時分，是以加赤道半周之十二時，得十三時五十一分三十七秒，始為本時春分距午時分也。次用辛辰甲正弧三角形，此形邊與角之度亦與前圖之辛辰甲形同，惟因辰點在辛點之西，是以十宮初度內(nèi)減辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宮六度十一分二十秒，即本時黃平象限之經(jīng)度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，亦與前數(shù)相同也。由此則逐度皆以距春、秋分前后各相對之度推之，其求午正太陽距天頂之加減，則以緯南、緯北而分。求黃平象限宮度之加減，則以冬至、夏至為斷。蓋冬至過午西，黃平象限恆在午正之東，夏至過午西，黃平象限恆在午正之西，此加減所由定也。
今設(shè)太陽黃道經(jīng)度三宮十六度四十四分，用時為戌正二刻八分十九秒，求春分距午時分及黃平象限宮度、限距地平高度。如申辛壬癸為黃道，交地平于寅，壬為春分，丑為夏至，申為秋分，子乙丑亥為過二極二至經(jīng)圈。乃自黃極子點過天頂甲點作子甲卯黃道經(jīng)圈，其黃道適中之辰點，乃在午正之西。今太陽在春分后之未點，當(dāng)赤道之午點，自子正計之，即用時之時刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，此形午為直角，有壬角黃赤交角二十三度二十九分，有壬未弧太陽距春分后黃道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，為太陽距春分后赤道度。變時得一小時一分四十秒，與午點用時相加，得二十一小時三十九分五十九秒，為壬點春分距子正后之時分。內(nèi)減十二時，得九小時三十九分五十九秒，即壬戊弧本時春分距午時分。次用甲戊辛正弧三角形，因壬戊春分距午后之度已過象限，故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊為直角，有申角黃赤交角，有申戊弧秋分距午前時分所變之赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，為本時正午之黃赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，為黃道交子午圈角，即黃道赤經(jīng)交角。與甲辛辰角為對角，其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，為秋分距午正前黃道度。與申點秋分九宮相減，得七宮二十二度三十八分一十秒，即辛點正午黃道經(jīng)度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形辰為直角，有辛角黃道赤經(jīng)交角。以甲戊弧京師赤道距天頂三十九度五十五分，內(nèi)減辛戊正午黃赤距度，得甲辛弧二十五度五十五分二十秒，為本時正午黃道距天頂度，求得辛辰弧九度零五十三秒，為黃平象限距午西之黃道度。與辛點正午黃道經(jīng)度相減，得辰點七宮十三度三十七分十七秒，即本時黃平象限之經(jīng)度，并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，為黃平象限距天頂之度。與甲卯象限相減，得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，為本時黃平象限距地平之高度，即當(dāng)辰寅卯角之度也。
求距限差
距限差者，乃月距黃平象限之差度也。蓋舊法月距限以九十度為率，因黃道麗天，其向隨時不同，而出于地平之上者，恆為半周，其適中之點，距地平東西皆九十度。故以九十度之限，以察月在地平之上下，若月距限逾九十度者，為在地平下，遂不入算，然此以黃道為立算之端也。顧白道與黃道斜交，月行白道，不無距黃道南北之緯度。緯南者早入遲出，月當(dāng)?shù)仄綍r，其距黃平象限不及九十度；緯北者早出遲入，月當(dāng)?shù)仄綍r，其距黃平象限已過九十度；是則九十度之率未足為據(jù)也。于是立法以求其差，猶五星伏見距日限度有距日加減差之義也。其法以限距地平之高及月距黃道之緯，依正弧三角形法求之。蓋黃道之勢，隨天左旋，其升降正斜，時時不同。正升正降者，京師限距地高至七十三度馀，高度大，則月緯所當(dāng)之距限差轉(zhuǎn)�。恍鄙苯嫡�，京師限距地高只二十六度馀，高度小，則月緯所當(dāng)之距限差轉(zhuǎn)大。若值月緯最大，其差可至十度有奇，此距限差之不可不立也。故依京師黃平象限距地平高度，逐度求其太陰黃道實緯度所當(dāng)距限差以立表。
設(shè)京師限距地平高度三十四度，太陰距黃道實緯度南北各五度，求距限差。如圖甲為天頂，乙丙為地平，丁為黃極，甲丁乙丙為黃道經(jīng)圈，戊己庚為黃道，交地平于己點，其戊點即黃平象限。戊丙為限距地高三十四度，與甲丁黃極距天頂之度等，而當(dāng)戊己丙角與乙己庚角為對角，其度亦等。如月恰在正交或中交，合于黃道之己點，正當(dāng)?shù)仄剑瑒t戊己為月距限九十度，若過九十度，自必在地平之下。今設(shè)月在黃道南五度，則辛壬癸為黃道距等圈，月在地平時為壬點，當(dāng)于黃道之卯，其戊卯月距限乃不及九十度。又設(shè)月距黃道北五度，則子丑寅為黃道距等圈，月在地平時為丑點，當(dāng)于黃道之辰，其戊辰月距限乃已過九十度，故必求其差數(shù)以加減之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧，此形有卯直角，有己角，當(dāng)限距地高，有卯壬弧月距黃道緯度。乃以己角之正切為一率，半徑為二率，卯壬弧之正切為三率，求得四率，為距限差度之正弦，檢表得七度四十二分，即己卯弧為所求之距限差，而與己辰弧之度分等，蓋己辰丑正弧三角形與己卯壬形同用己角，而辰丑弧月距黃道緯度，亦與卯壬等是兩正弧形為相等形，故所得之己卯弧必與己辰弧相等無疑矣。既得己卯距限差，與戊己九十度相減，得八十二度十八分，即戊卯距限，而與距等圈辛壬之度相應(yīng)，為月在緯南之地平限度。以己辰距限差與戊己九十度相加，得九十七度四十二分，即戊辰距限，而與距等圈子丑之度相應(yīng)，為月在緯北之地平限度也。
一率己角正切
二率半徑
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
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求黃經(jīng)高弧交角及月距天頂
舊法推日食三差，原以黃平象限為本。自考成前編謂三差并生于太陰，而太陰之經(jīng)緯度為白道經(jīng)緯度，用白道較之用黃道為密，故求三差則按月距白平象限之度，以白道高弧交角及太陰高弧為據(jù)。后編變通其法，乃以白經(jīng)高弧交角及日距天頂以求三差，而求白經(jīng)高弧交角，系赤經(jīng)高弧交角加減赤白二經(jīng)交角而得，并不求月距白平象限之度，是法較前頗為省算。今推視差者，乃求其星月黃道同經(jīng)之視距視時，故三差應(yīng)由黃平象限而定也。是則其法原可仿于后編不求黃平象限而竟求黃經(jīng)高弧交角之術(shù)，即黃道高弧交角之馀度。然非月距黃平象限度與地平限度相較，其月在地平之上下無由可知。故今求交角，乃先求得月距黃平象限之東西、黃平象限去地之高下、太陰距黃極之遠近，然后按后編用斜弧形求赤經(jīng)高弧交角日距天頂之法，則黃經(jīng)高弧交角及月距天頂之度可得矣。
設(shè)星、月黃道經(jīng)度同為申宮二十六度二十二分十一秒，月距正交前四十三度四十八分五十六秒，黃白交角五度四分一十秒，黃平象限七宮十三度三十七分十七秒，限距地高六十五度三十五分三十六秒，求太陰實緯黃經(jīng)高弧交角月距天頂。如圖甲為天頂，甲乙丙丁為子午圈，丙丁為地平，乙為北極，戊己庚為赤道，戊為午正，己為酉正，庚為子正，卯為黃極，辛壬癸子為黃道，壬為春分，癸為夏至，午為黃道交地平之點。午未弧為九十度，其未點即黃平象限，宮度為七宮十三度三十七分十七秒。未辰弧當(dāng)午角為六十五度三十五分三十六秒，即限距地高度，而與甲卯黃極距天頂之度等。巳寅丑為白道，寅為正交，寅角為黃白交角五度四分一十秒，申為太陰當(dāng)黃道于酉，申寅為月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉為月距黃道緯度，其酉點為星月所當(dāng)之黃道經(jīng)度五宮二十六度二十二分十一秒，與未點黃平象限宮度相減，得未酉弧四十七度十五分六秒，為月距黃平象限西之度。乃當(dāng)未卯酉角，甲申戌為高弧，卯申甲角為黃經(jīng)高弧交角，甲申為月距天頂。求法，先用寅酉申正弧三角形，此形酉為直角，有寅角黃白交角，有寅申弧月距正交前白道度，求得申酉弧三度三十分二十七秒，即太陰距黃道南實緯度。與卯酉象限相加，得卯申弧九十三度三十分二十七秒，為月距黃極。次用甲卯申斜弧三角形，此形有甲卯邊黃極距天頂，有申卯邊月距黃極，有申卯甲角當(dāng)酉未弧月距限度為所夾之角，求申角及甲申邊。乃自天頂作甲亥垂弧，分為甲亥卯、甲亥申兩正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，此形亥為直角，有卯角，有甲卯邊，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，為距極分邊。與申卯弧月距黃極相減，得申亥弧三十七度十六分十二秒，為距月分邊。次用甲亥申正弧三角形，此形亥為直角，有申亥邊，兼甲亥卯正弧三角形之亥卯邊及卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，即黃經(jīng)高弧交角。仍以甲卯申斜弧形，用對邊對角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，即月距天頂之度也。
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求太陰距星及凌犯視時
太陰距地平上之高弧，自地心立算者為實高，在地面所見者為視高，其相差之分，即地半徑差也。月當(dāng)?shù)仄綍r，距天頂為九十度，其相差之?dāng)?shù)最大，而角之正弦即當(dāng)?shù)刂霃健ｅ试律仙�，則距地漸高，距地愈高，則差數(shù)愈小，其所差之分，皆與本時月距天頂之正弦相應(yīng)，故用比例法而得本時高下差也。夫高下既差，則有視經(jīng)、視緯之別。其視經(jīng)、實經(jīng)之差者，東西差也；視緯、實緯之差者，南北差也。今求三差，乃依后編日食求三差法用直線三角形算之。然后編三差圖乃寫渾于平，今則用以渾測渾之圖，求其三差，其所得之南北差，與本時太陰實緯之度相較，而得視緯。得以視緯與星緯相較，觀其緯之南北而定相距之上下也。其所得之東西差，與一小時之太陰實行為比例，而得用時距視時之距分。辨其月距限之東西加減凌犯用時，而得凌犯之視時也。
前求得道光十二年壬辰三月初六日癸丑，月距司怪第四星凌犯用時戌正二刻八分十九秒，黃經(jīng)高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天頂五十三度四十三分二十四秒，本日太陰最大地半徑差六十分七秒，太陰黃道實緯度南三度三十分二十七秒，司怪第四星黃道緯度南三度十一分四十四秒，一小時太陰實行三十六分三十三秒，求星月相距分秒凌犯視時。如圖甲為天頂，甲未辰巳為黃道經(jīng)圈，辰午巳為地平，卯為黃極，未午辛為黃道，未點即黃平象限宮度，未辰弧即限距地高，與卯甲黃極距天頂之度等。申點為太陰，子點為司怪第四星，同當(dāng)黃道于酉。其酉點即月與星之黃道經(jīng)度，酉未弧即月距限西之度，子酉為星距黃道南緯度三度十一分四十四秒，申酉為太陰距黃道南實緯度三度三十分二十七秒，申卯弧即月距黃極，甲申戌為高弧，申甲為月距天頂度五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角為黃經(jīng)高弧交角五十六度二分五十一秒，而與戌申亥角為對角，其度等。此皆自地心立算之實度也。然人居地面高于地心，故視高常低于實高，而月當(dāng)?shù)仄綍r，其地半徑差為最大，今乃六十分七秒。于是依后編求本時高下差之法，以半徑與甲申弧正弦之比同于最大地半徑差與本時高下差之比，得本時高下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火點即太陰之視高，自火點與黃道平行，作火木線，遂成申木火直角三角形。因弧度甚小，乃作直線算，與后編求日食三差之理同。此形木為直角，有申角黃經(jīng)高弧交角，有申火邊本時高下差，求得木火邊四十分十二秒為東西差，求得申木邊二十七分四秒為南北差，加于申酉太陰實緯，得木酉太陰視緯三度五十七分三十一秒。內(nèi)減子酉星緯，得子木弧四十五分四十七秒，為人目仰視太陰距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同當(dāng)酉點之經(jīng)度，固為相距。今太陰視高在火，其視緯雖差至木，而距星之子點尚在一度內(nèi)，其火點當(dāng)黃道之視經(jīng)度則差至土，是用時時星經(jīng)度雖在酉，而太陰視經(jīng)度之土點乃在其西，是為未及。然土酉之分與火木等，故以一小時太陰實行與火木東西差為比例，得距分一時六分，為月行火木之時分。加于月視高臨火點之用時，得亥初二刻十四分十九秒，即人目視太陰臨于木點與星，同當(dāng)酉點經(jīng)度之視時也。
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求視時月距限
視時月距限，必大于用時月距限，因其視經(jīng)差所當(dāng)之距分既有加減，則太陰與星隨天西移自有進退也。蓋太陰以地半徑差由高而變下，則視經(jīng)之差于實經(jīng)、視緯之差于實緯必矣。茲據(jù)黃平象限在天頂南之地面而言之，視緯恆差而南，如實緯北者，視緯常小于實緯，其差為減；實緯南者，視緯常大于實緯，其差為加。故緯南之星、月實距雖在一度內(nèi)，而視距轉(zhuǎn)在一度外者有之；緯北之星、月實距雖在一度外，而視距轉(zhuǎn)在一度內(nèi)者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限，故不取用。至若視經(jīng)之差，所當(dāng)月行距分之最大者或至二小時，而二小時之際，諸曜隨天左旋，幾至一宮，故視經(jīng)之差，關(guān)于月行之進退矣。如月在黃平象限西者，視經(jīng)度差之而西，視時必遲于用時；月在黃平象限東者，視經(jīng)度差之而東，視時必早于用時。以致用時星、月未入地平，而視時星、月已入地平者有之，或用時星、月已出地平，而視時星、月未出地平者有之。是故于求用時之后，即以月距黃平象限與地平限度相較，可知斯時月在地平之上下。月距限小于地平限度者，為月在地平上；大于地平限度者，為月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者，用時星、月必在地平上，視時星、月或在地平下，其所差者，即視經(jīng)之差當(dāng)月行距分之諸曜左旋度。今取最小實經(jīng)、視經(jīng)之差所當(dāng)左旋之度為視經(jīng)差，法見下卷求地平限度節(jié)下。減于地平限度，所得視地平限度，而與月距限度考之。如月距限小于地平限度而大于視地平限度者，則為用時月雖在地平上，視時月必在地平下矣；既知月必在地平下，故遇此者去之。如月距限小于視地平限度者，則為視時月在地平之上。夫猶有不然者，以視經(jīng)差所取皆最小之?dāng)?shù)也。若知月行實跡非由視時，再推月距限度，則其時月果在地平之上下，未可得其確準(zhǔn)。故今于既得視時之后，必詳察太陰實緯及用時月距限度。如實緯南月距限過六十度，或?qū)嵕暠痹戮嘞捱^七十度者，用時月距限在此限度內(nèi)者，視時月必在地平之上。皆以視時復(fù)求月距黃平象限之度。如其度大于地平限度者，乃視時月在地平之下，仍不取用。必其度小于地平限度，始為視時月必在地平之上，而可證諸實測。此視差之所以必逐細詳推，然后可得而取用也。